.RU

Календарный план по теории вероятностей и математической статистике 2 курс 4 факультет 2007/2008 учебный год


ст. преподаватель Осокин А.В.

Календарный план

по теории вероятностей и математической статистике

2 курс — 4 факультет 2007/2008 учебный год

(группы: 04-212, 04-213, 04-219, 04-220)

(группы: 04-201, 04-202, 04-203, 04-204)

Лекции

Опыт. Классическая схема теории вероятностей. Элементарное событие. Пространство элементарных событий. Совместные и несовместные события. Условная вероятность и формула сложе­ния в классической схеме теории вероятностей.

Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Тео­рема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Геометрические вероятности. Задача Бюффона и задача о встре­че.

Алгебра событий и σ - алгебра событий. Аксиомы теории веро­ятностей. Понятие вероятности. Математическая модель опыта. Случайное событие.

Полная группа попарно несовместных событий — гипотезы. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли и полиномиальная схема.

Случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Квантиль. Числовые характеристики случайных величин: мате­матическое ожидание, дисперсия, начальный и центральный мо­менты, среднее квадратическое отклонение. Дискретные случай­ные величины. Производящая функция неотрицательного цело­численного дискретного распределения.

Основные дискретные распределения: равновероятное, биноми­альное, бернуллиевское, пуассоновское, геометрическое. Часто­та наступления события. Устойчивость частот. Неравенство Чебышева и Гаусса-Маркова. Теорема Бернулли. Простейшие пре­дельные теоремы в схеме Бернулли: теорема Пуассона и теорема Муавра-Лапласа.


  1. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности и характеристическая функция непрерывного распределения. Ос­новные непрерывные распределения: равномерное, экспоненци­альное, показательное, нормальное, распределение Коши. Функ­ции случайных величин. Способы моделирования случайных ве­личин на компьютере.

  2. Случайные векторы. Двумерные случайные векторы. Двумер­ные дискретные случайные векторы. Ковариация двух случай­ных величин. Независимые случайные величины. Коэффици­ент корреляции случайных величин и его свойства. Неравенство Коши-Буняковского. Коэффициент корреляции линейно зави­симых случайных величин. Математическое ожидание и дис­персия линейной комбинации случайных величин. Ковариацион­ная и корреляционная матрицы случайного вектора и их свой­ства. Простейшая формула полного математического ожидания. Общий план исследования двумерного распределения вероятно­стей. Наилучшая в среднем квадратическом оценка случайной величины по наблюдениям над другой случайной величиной — условное математическое ожидание. Формула полного матема­тического ожидания.

  3. Двумерные непрерывные случайные векторы. Распределение суммы случайных величин. Распределение Лапласа. Попадание двумерной случайной величины в заданную на плоскости об­ласть.




  1. Двумерное и трехмерное нормальное (гауссовское) распределе­ние. Канонический вид двумерного и трехмерного нормального (гауссовского) распределения. Теорема о нормальной корреля­ции.

  2. Виды вероятностной сходимости. Закон больших чисел. Сходи­мость усредненной суммы случайных величин. Центральная пре­дельная теорема. Метод статистического моделирования — ме­тод Монте-Карло.

  3. Понятие априорной и апостериорной выборки. Основные за­дачи математической статистики. Гистограмма. Эмпирическая

(выборочная) функция распределения. Выборочное математиче­ское ожидание и дисперсия. Основные распределения в матема­тической статистике, Распределение хи-квадрат. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера.

  1. Точечное оценивание. Метод максимального правдоподобия и метод моментов. Свойства точечных оценок: несмещённость, состоятельность и эффективность.

  2. Проверка статистических гипотез. Выбор критерия. Мощность критерия. Ошибки первого и второго рода. Интервальное оцени­вание. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Уровень значимости. Оценка объема выборки в методе стати­стических испытаний.

  3. Метод наименьших квадратов. Метод наименьших модулей. По­строение линейной и квадратичной моделей. Выбор матрицы плана. Ортогональные полиномы Чебышева. Остаточная дис­персия. Доверительное оценивание коэффициентов в линейной модели.

Литература

  1. Кибзун А.И., Наумов А.В. Теория вероятностей. Базовый курс с примерами и задачами. —М.: Физматлит, 2002, 2005.

  2. Кочетков Е.С., Смерчинская СО. Теория вероятностей в зада­чах и упражнениях. —М.: Форум-Инфра-М, 2005, 2008.

  3. Кибзун А.И., Панков А.Р., Сиротин А.Н. Учебное пособие по теории вероятностей. —М.: МАИ, 1993.

  4. Кочетков Е.С., Осокин А.В. Случайные события. —М.: МАИ, 2000.

  5. Кочетков Е.С., Осокин А.В. Случайные величины. —-М.: МАИ, 2001.

  6. Кочетков Е.С., Осокин А.В., Смерчинская СО. Предельные теоремы. --М.: МАИ, 2001.

  7. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Наука, 1979.


Практические занятия*

1. Комбинаторные задачи. Классическая схема теории вероятностей.

2. Комбинаторные задачи. Классическая схема теории вероятностей.

3. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Тео­
рема умножения вероятностей. Совместные и несовместные со­бытия. Теорема сложения вероятностей.

4. Совместное применение теорем сложения и умножения вероятностей.

5. Формула полной вероятности и формула Байеса.

6. Схема Бернулли. Полиномиальная схема.

• (на занятии) [2]:

*Номера задач даны по книге: Кочетков Е.С., Смерчинская СО. Теория вероятностей в задачах и упражнениях, —М.: Форум-Инфра-М, 2005 или 2008.

• (домашнее задание) [2]: 5.2, 5.4, 5.11, 5.15, 5.17, 5.21, 5.27, 5.32, 5.36,
5.38,5.39, 6.42, 5.43, 5.46, 5.48.

  1. Контрольная работа № 1.

  2. Дискретные случайные величины. Производящая функция.




9. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

10. Непрерывные случайные величины. Функции случайных вели­
чин.

11. Нормальная (гауссовская) случайная величина.




  1. Контрольная работа № 2.

  2. Общий план исследования дискретной двумерной случайной ве­личины. Ковариационная и корреляционная матрицы. Независимость и некоррелированность.




14. Общий план исследования непрерывной двумерной случайной
величины.


15. Предельные теоремы. Виды вероятностной сходимости. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Неравенство Чебышева.

Лабораторные работы

  1. Точечные оценки параметров. Метод моментов. Метод мак­симального правдоподобия. Несмещенность и состоятельность. Проверка статистических гипотез. Критерии: однородности, независимости, согласия. Ошибки первого и второго рода.

  2. Доверительное оценивание параметров. Проверка параметриче­ских гипотез.

  3. Метод наименьших квадратов. Построение линейной и квадра­тичной моделей. Метод наименьших модулей.

Курсовая работа

Этап 1. Вероятность попадания в двумерную область плоскости.

Этап 2. Проверка статистической гипотезы (однородности или независимости или о законе распределения).

Этап 3. МНК и проверка параметрической гипотезы о значении коэффициентов регрессии.

Экзаменационный билет №001

1. Вероятности попадания в мишень для трёх стрелков равны
исоответственно. В результате одновременного выстрела

всех стрелков в мишени образовалось две пробоины. Что более вероятно попал третий стрелок в мишень или нет, и какова вероятность попадания третьего стрелка в мишень?

  1. Вычислите вероятность попадания в промежуток (—3; 1) слу­чайной величины

  2. Из всех трёхзначных чисел (от 100 до 999) наугад выбрали одно число. Вычислите математическое ожидание числа различных цифр, встречающихся в записи этого числа.

  3. Случайные величиныинезависимы и одинаково распреде­лены по закону R(0; 1). Найдите вероятность того, что корни квадратного уравнениявещественны.

  4. Докажите, что к последовательности случайных величин



закон больших чисел не применим.

6. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Биномиальное распределение. Пуассоновская аппроксимация биномиального распределения. Задача о распределении опечаток*.

*Книга в 500 страниц содержит 400 опечаток. Предположим, что каждая из них независимо от остальных опечаток может с одинаковыми вероятностями оказаться на любой странице книги, оцените вероятность того, что на 13-й странице будет не менее двух опечаток.

Экзаменационный билет № 002

1. Стрелок стреляет по мишени до тех пор, пока общее число
промахов не станет равным трём. Вероятность промаха при
одном выстреле составляет 0,2. Какова вероятность того, что:
а) стрелок израсходует семь патронов; б) стрелку хватит пяти
патронов?

  1. Для случайной величинырасположите в поряд­ке возрастания вероятности попадания в интервалы: (—2; 2), (-1; 3), (0; 4) и (-1,5; 2,5).

  2. Сколько в среднем раз понадобится подбрасывать игральную кость до тех пор, пока хотя бы по одному разу не выпадет каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

4.Случайный вектор равномерно распределён в квадрате Найдите ковариационную матрицу этого вектора,

коэффициент корреляции его координат и условную плотность вероятностипри условии

б. Докажите, что к последовательности случайных величин при­меним закон больших чисел, если при



в. Двумерное распределение вероятностей. Общий план исследования двумерного распределения вероятностей. Формула полно­
го математического ожидания. Задача о коэффициенте корреляции*.

* Вычислите коэффициент корреляции между числом выпадения единицы и числом выпадения шестерки при п >= 1 подбрасываниях игральной кости.





^ Экзаменационный билет № 003

1. Двое поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот, у кого рань­
ше выпадет герб. Определите вероятность выигрыша каждого
из игроков.

2. Вычислите вероятность попадания случайной величины
N(1; 4) в промежуток (3; +оо).

3. Вычислите математическое ожидание если

4. Сколько раз в среднем придётся бросать монету до выпадения
серии «гг» ?

5. Оцените вероятность того, что приабсолютная по­
грешность вычисления методом Монте-Карло интеграла



где— независимые одинаково распределённые

по закону R(0; 1) случайные величины при п = 10000 не превосходит 0,01.

6. Нормальное (гауссовское) распределение. Функция Лапласа. Нормальная аппроксимация биномиального распределения. Тео­рема Муавра-Лапласа. Задача о выборах*.

*Каждый избиратель, независимо от остальных избирателей, отдаёт свой голос за кандидата А с вероятностью 0,7, и за кандидата В — с вероятностью 0,3. Оцените вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке из 5000 избирателей кандидат А опередит кандидата В: а) на 1900 голосов; б) не менее, чем на 1900 голосов.

Экзаменационный билет № 004



  1. Из букв слова ТЕОРЕМА наугад выбирают пять букв. Вычис­лите вероятность того, что из выбранных букв можно составить слово: а) ТЕРЕМ; б) МОРЕ; в) ТОР.

2. Для случайной величинывычислите

3. Случайная величинаВычислите


4. Совместное распределение случайных величинизадано таблицей выше. Ппц, эта таблица вниз у меня не лезет 

Ух-ты! Ворд смайлики вставляет за меня, прикольна 

Найдите ковариационную матрицу этого вектора, коэффициент корреляции его координат и постройте наилучшую в среднем квадратическом оценку случайной величиныпо случайной величине

  1. В предположении, что один шаг пешехода распределён равно­мерно в пределах от 70 см до 80 см и размеры шагов независи­мы, оцените вероятность того, что за 10000 шагов пройденный пешеходом путь составит 7,5 км50 м.

  2. Классическая схема теории вероятностей. Геометрические веро­ятности. Задача о встрече*.

*Двое условились встретиться в течение часа. Пришедший на встречу первым ждёт другого 20 минут, после чего сразу уходит. Моменты прихода каждого из них независимы и происходят наугад. Найдите вероятность встречи.


Экзаменационный билет № 005

1. В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли трое.
Найдите вероятность того, что, для их выхода лифт будет
останавливаться дважды.

2. Для случайной величинысреди всех интервалов
(а; b), удовлетворяющих условию, найдите
интервал наименьшей длины.

3. Для случайной величины вычислите вероятность

4.Случайный вектор равномерно распределён в квадрате Найдите ковариационную матрицу этого вектора,

коэффициент корреляции его координат и частные плотности вероятности

5. Пусть- независимые одинаково распределённые
случайные величины си конечной дисперсией
При каком значениидля суммывыполнено

условие?

в. Формула сложения и умножения вероятностей. Задача о распо­ложении многотомника*.

Экзаменационный билет № 006

1. Из чисел 1, 2, ..., 100 наугад выбирают 70 чисел. Какова
вероятность того, что наибольшим из них окажется число 98?

2. Нормально распределённая случайная величина удовлетворяет
соотношениюВычислите

3.Случайная величина имеет равномерное распределение, и

Постройте графики функции рас­пределения этой случайной величины и её плотности вероятно­сти. Вычислите математическое ожидание и дисперсию.

4. Игральную кость подбрасывают до тех пор, пока не выпадет
шестёрка. Пусть — сумма всех выпавших при этом очков.
Найдите математическое ожидание

б. Какое минимальное количество раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,95, отклонение частоты выпадения герба от вероятности его выпадения не превышало 0,01?

6. Формула полной вероятности и формула Байеса. Задача о монете (найти вероятность того, что монету придётся бросать четное число раз до серии «гг»).

"Найдите вероятность того, что при расстановке наугад п томного издания хотя бы один том окажется на своём естественном месте.

kniga-raskrivaet-istoki-sozdannogo-eyu-napravleniya-logopsihoterapii-ego-teoreticheskie-i-metodicheskie-osnovaniya-prakticheskie-dostizheniya-stranica-11.html
kniga-rasschitana-na-arheologov-antropologov-istorikov-geologov-biologov-i-vseh-kto-interesuetsya-voprosami-d.html
kniga-rasschitana-na-inzhenerno-tehnicheskij-personal-zanyatij-proektirovaniem-montazhom-i-ekspluataciej-ustanovok-elektricheskogo-osvesheniya-a-takzhe-elektrooborudovaniya-specialnih-ustanovok-stranica-11.html
kniga-rasschitana-na-inzhenerno-tehnicheskij-personal-zanyatij-proektirovaniem-montazhom-i-ekspluataciej-ustanovok-elektricheskogo-osvesheniya-a-takzhe-elektrooborudovaniya-specialnih-ustanovok-stranica-17.html
kniga-rasschitana-na-inzhenerno-tehnicheskij-personal-zanyatij-proektirovaniem-montazhom-i-ekspluataciej-ustanovok-elektricheskogo-osvesheniya-a-takzhe-elektrooborudovaniya-specialnih-ustanovok-stranica-9.html
kniga-rasschitana-na-massovogo-chitatelya-stranica-12.html
  • composition.bystrickaya.ru/osnovi-avtomatiki-i-telemehaniki.html
  • tasks.bystrickaya.ru/-otstuplenie-ot-temi-1nekotorie-aspekti-biologii-cheloveka-avtoritetnie-mneniya-ob-alkogole.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tema-pesnya-i-romans.html
  • literature.bystrickaya.ru/dante-aligeri-bozhestvennaya-komediya.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/azastan-respublikasi-mdeniet-zhne-sport-ministrn-kejbr-bjritarina-zgerster-engzu-turali.html
  • tasks.bystrickaya.ru/1-rassheplennij-mozg-issledovaniya-amerikanskih-nejropsihologov-sedov-k-f-s28-nejropsiholingvistika.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-pervaya-kniga-izdana-pri-sodejstvii.html
  • report.bystrickaya.ru/igri-ledokoli.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/referat-po-informatike-na-temu-arhivatori.html
  • gramota.bystrickaya.ru/vtelevizionnom-konkurse-shkolnikov-znatokov-russkogo-yazika-v-kachestve-domashnego-zadaniya-komandam-bilo-predlozheno-peredelat-v-dramu-i-razigrat-odnu-iz-izvest.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/snimok-ekrana1-zayavka-na-konkurs-dannie-o-programme-s-3.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/kommentarij-k-postanovleniyam-plenuma-verhovnogo-suda-rossijskoj-federacii-po-grazhdanskim-delam-stranica-22.html
  • doklad.bystrickaya.ru/voskresni-gebbels-on-bi-umer-ot-zavisti-sociologiya-zhurnalistiki-konspekt-lekcij-dlya-st-4-kursa.html
  • college.bystrickaya.ru/33-zaochnaya-sokrashennaya-forma-obucheniya-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-opd-f-07-osnovi-teorii-upravleniya.html
  • uchit.bystrickaya.ru/statya-33336-lgoti-pri-obrashenii-v-sudi-obshej-yurisdikcii-a-takzhe-k-mirovim-sudyam.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sistema-besperebojnogo-garantijnogo-elektrosnabzheniya-2-vnesenie-izmenenij-v-konkursnuyu-dokumentaciyu-9.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/temi-dokladov-k-prakticheskim-zanyatiyam-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-bijsk-bpgu-imeni-v-m-shukshina.html
  • lecture.bystrickaya.ru/aleksej-kudrin-pristroil-stabilizacionnij-fond-press-sluzhba-frakcii-edinaya-rossiya-gosduma-rf.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-kursi-po-viboru-osnovi-aviamodelirovaniya-uchebno-metodicheskij-kompleks-sostavitel-assistent-stranica-4.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/ukazatel-avtorov-a-ukazatel-avtorov.html
  • lecture.bystrickaya.ru/43-prodolnij-i-poperechnij-analiz-kogorti-i-pokoleniya-v-i-melenchuk-kand-geogr-docent-kafedri-geografii.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/metodika-sozdaniya-multimedijnogo-regionalnogo-atlasa-na-primere-atlasa-kurilskih-ostrovov-25-00-36-geoekologiya-25-00-33-kartografiya.html
  • studies.bystrickaya.ru/literatura-akusherstvo-beremennost-i-zabolevaniya-serdechno-sosudistoj-sistemi.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/monitoring-razvitiya-selskih-territorij-kak-ocenka-ih-ekonomicheskogo-potenciala-na-primere-komiteta-po-delam-selskih-territorij-ministerstva-selskogo-hozyajstva-respubliki-kazahstan.html
  • tasks.bystrickaya.ru/17-18-marta-2012-g-divo-24-proyavleniya-irkutsk.html
  • tasks.bystrickaya.ru/-11-rol-orudiya-truda-v-stanovlenii-obshestva-i-obshestvennogo-proizvodstva-apologiya-kapitala-politicheskaya-ekon-omiya-tvorchestva.html
  • composition.bystrickaya.ru/po-leksicheskomu-znacheniyu-uznajte-slovo-i-zapishite.html
  • occupation.bystrickaya.ru/neizvestnoe-o-samom-izvestnom-nepokolebimom-i-zagadochnom-zabluzhdenii-v-istorii-nauki-i-tehniki.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/referat-26.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/temi-proektov-po-russkomu-yaziku-otrazhenie-russkogo-nacionalnogo-haraktera-vo-frazeologizmah.html
  • education.bystrickaya.ru/2-usloviya-osushestvleniya-obrazovatelnogo-processa-doklad-pozvolit-oznakomitsya-s-ukladom-i-tradiciyami-nashego.html
  • school.bystrickaya.ru/glava-2neokonservativnij-tradicionalizm-a-n-mochkin-paradoksi-neokonservatizma.html
  • student.bystrickaya.ru/28-iyulya-diplom-dlya-rabotayushih-lyudej-sostoyalos-soveshanie-rabochej-gruppi-po-voprosam-obrazovaniya.html
  • abstract.bystrickaya.ru/33-specializirovannie-otrasli-nacionalnij-standart-finansovoj-otchetnosti.html
  • shkola.bystrickaya.ru/sistema-obucheniya-studentov-vtuzov-operirovaniyu-elektricheskimi-shemami-na-osnove-pedagogicheskoj-deyatelnosti-kafedr-inzhenernoj-grafiki-vuzov-telekommunikacij-stranica-4.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.